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判断下列命题是否正确, 正确的给予证明, 错误的举出反例.
(1). $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 则 $f$ 有原函数.
(2). $f$ 有原函数, 则 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.
解答:
(1). 错误. 比如 $[0,1]$ 上的 Riemann 函数 $R(x)$, 其是 Riemann 可积的, 但由 $$\bex F(x)=\int_0^x R(t)\rd t=0\ra F'(x)=0\neq R(x),\quad x\in\bbQ \eex$$ 知 $R(x)$ 没有原函数.
(2). 错误. 比如 $$\bex f(x)=\sedd{\ba{ll} x^2\sin\cfrac{1}{x^2},&x\neq 0\\ 0,&x=0 \ea} \eex$$ 的导函数 $f'(x)$ 有原函数 $f(x)$, 但是 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的.
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